Функции Ганкеля
Фу́нкции Ха́нкеля (Га́нкеля) (функции Бесселя третьего рода) — линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Германа Ханкеля.
- [math]\displaystyle{ H_{\nu}^{(1)}(z)=J_{\nu}(z)+iN_{\nu}(z) }[/math] — функция Ханкеля первого рода;
- [math]\displaystyle{ H_{\nu}^{(2)}(z)=J_{\nu}(z)-iN_{\nu}(z) }[/math] — функция Ханкеля второго рода.
Функции Ханкеля с индексом 0 являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца.
Свойства
- Представление функциями Бесселя первого рода:
[math]\displaystyle{ H_{\nu}^{(1)} (z) = \frac{J_{-\nu} (z) - e^{-\nu\pi i} J_{\nu} (z)}{i \sin (\nu\pi)} }[/math]
[math]\displaystyle{ H_{\nu}^{(2)} (z) = \frac{J_{-\nu} (z) - e^{\nu\pi i} J_{\nu} (z)}{- i \sin (\nu\pi)} }[/math]
[math]\displaystyle{ W\left[H_{\nu}^{(1)} (z),H_{\nu}^{(2)} (z)\right]=-\frac{4i}{\pi z} }[/math]
- Симметрия по индексу:
[math]\displaystyle{ H_{-\nu}^{(1)} (z) = e^{\nu\pi i} H_{\nu}^{(1)} (z) }[/math]
[math]\displaystyle{ H_{-\nu}^{(2)} (z) = e^{-\nu\pi i} H_{\nu}^{(2)} (z) }[/math]
[math]\displaystyle{ H_{-\nu}^{(1)} (z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{\frac{i}{4}(4z-2\pi\nu-\pi)} }[/math], если [math]\displaystyle{ |z|\to\infty, -\pi\lt \arg z\lt 2\pi }[/math];
[math]\displaystyle{ H_{-\nu}^{(2)} (z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{-\frac{i}{4}(4z-2\pi\nu-\pi)} }[/math], если [math]\displaystyle{ |z|\to\infty, -2\pi\lt \arg z\lt \pi }[/math].
См. также
Литература
- Ватсон Г. Теория бесселевых функций. В 2 т. — М.: ИЛ, 1949.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1966. — 296 с. — (Справочная математическая библиотека).
Ссылки
- Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4.
- Шаблон:АбрамовицСтиган